opini

kata ayah..
aq cantik
kata ibu..
aq cantik,,
kata orang yg suka ma aq..
aq tetep cantik,,
kata shabatku..
aq cantik..
kata pacarku..
aq lebih cntik dr semuanya...
kata org yg iri ma aq..
aq jelek..
satu kata untuk mereka..
"BAH...!!"

BARISAN Yang namanya barisan adalah berjajar, kalo gak menyamping yaaaaa kebelakang tetapi dalam matematika barisan ini terjadi pada angka dan variabl

BARISAN
Yang namanya barisan adalah berjajar, kalo gak menyamping yaaaaa kebelakang tetapi dalam matematika barisan ini terjadi pada angka dan variable.

contoh paling sederhana adalah barisan bilangan ganjial; 1,3,5,7 ......

pola diatas dapat ditulis dengan

U1 = suku pertama (atau biasa dibuat dengan variabel a)
U2 = Suku ke-2
Un = suku ke-n

kenapa disebut barisan???
kalu saia menyebut karena bilangan tersebut memiliki irama. weekss irama.... yaaaaaa iramanya seperti ini;
antara angka 1 dan 3 terdapat beda (b) yaitu 3 - 1 =2 begitupun antara 3 dan 5 terdapat beda yang sama yaitu 2 (5 - 3 = 2) dan seterusnya sampai suku ke-n memiliki beda yang konstan sehinggarumusnya ditulis






dan untuk mencari beda dengan rumus



Ket : b = beda
Un = suku ke-n
Un-1 = satu suku sebelumnya

sehingga *masih mengacu pada barisan contoh diatas
U1 = a = 1
U2 = (a + b) = 1 + 2 = 3 *ingat b adalah beda
U3 = (a + 2b) = 1 + 2.2 = 5
U4 = (a + 3b) = 1 + 3.2 = 7

dan dapat disimpulkan jika mencari suku ke-n (Un) adalah



misal untuk mencari suku berikutnya adalah suku ke-5 maka;
U5 = a + (n-1)b
= 1 + (5-1)2
= 1 + 8 = 9
kalo suku ke-6
U6 = a + (n-1) b
= 1 + (6 - 1) 2
= 1 + 10
= 11
kalo suku ke-7
U7 = .........................
= ..........................
= ..........
isi sendiri yaaaaaaaaa.. buat latihan kamu dirumah
sudah sedikit mudengkan????.......
nah pada umumnya bentuk deret seperti berikut


DERET
jika barisan bentuk umumnya seperti diatas maka bentuk deret bentuk umumnya seperti :



atau




** hayooo tau nggak perbedaannyaaaaaaa dengan BARISAN..... ya... kalu kita liat perbedaanya hanya pada tanda plus dan komanya saja. hehehehheheh

keterangannya sama dengan barisan *gak usah dijelaskan lagi yaaaaa

dalam deret aritmatika terdapat jumlah suku...
berlaku rumus;
sehingga

untuk Sn = jumlah sampai suku ke-n
a = suku pertama
b = beda

dan untuk mencari suku tengah berlaku rumus

untuk Ut = suku tengah

Model Matematika

Masalah Program linier adalah mengenai optimalisasi dengan keterbatasan tertentu. Keterbatasan dan optimalisasi ini harus dibentuk dahulu model matematikanya ;
yang secara garis besar dibagi 2 bagian :
- constraint ( Persyaratan )
- objective Function (Fungsi Tujuan / Sasaran)

Langkah
- Tentukan variabelnya (x=... ; y = ....)
- Buat model matematikanya dari : 1) Fungsi tujuan dan 2) Persyaratan
- Tentukan daerah yang memenuhi persyaratannya
- Tentukan titik esktrim daerah tersebut
- Substitusi koordinat titik ekstrim ke fungsi tujuan
- Bandingkan nilai yang didapat
- Jawaban disesuaikan dengan pertanyaan (maksimum/minimum)



contoh :

MASALAH MAKSIMUM

1. Seorang pedagang akan membuat kue A dan B. Kue A membutuhkan 150 gr tepung dan 50 gr mentega. Kue B membutuhkan 75 gr tepung dan 75 gr mentega. Tepung yang tersedia ada 2250 gr dan mentega yang tersedia ada 1750 gr. Jika kue A memberi keuntungan Rp 100,00 dan kue B Rp 125,00 tiap unitnya. Berapa keuntungan maksimum yang mungkin diperoleh pedagang itu ?

Tabel

Kue A Kue B Tersedia
Tepung
Mentega 150
50 75
75 2250
1750
KEUNTUNGAN 100 125

Misalkan banyaknya kue A yang dibuat x buah dan kue B yang dibuat y buah, maka persoalan menjadi :

Maksimumkan :
f(x,y) = 100x + 125y (fungsi objektif/keuntungan)

dengan syarat (ds):
150x + 75y £ 2250 ® 2x + y £ 30 ...(1)
50 x + 75y £ 1750 ® 2x + 3y £ 70 ...(2)
x,y ³ 0
catatan : bentuk persyaratan £

Titik Ekstrim

A(0,23 1/3) ; B(15,0) ; (5,20)
f(x,y) = 100x + 125y
f(A) = 100(0) + 125(23) = 2875
(dalam hal ini roti tidak pecahan)
f(B) = 100(15) + 125(0) = 1500
f(C) = 100(5) + 125(20) = 3000

Jadi keuntungan maksimum pedagang itu adalah Rp 3.000,00 ; yaitu dengan membuat 5 unit kue A dan 20 unit kue B.

2. Seorang penjahit pakaian mernpunyai persediaan barang katun 16 m, sutera 11 m dan wool 15 m.
Model pakaian I membutuhkan 2 m katun, 1 m sutera dan 1 m wool per unit. Model pakaian II membutuhkan 1 m
katun, 2 m sutera dan 3 m wool per unit.Keuntungan pakaian model I Rp 3.000,00 dan model pakaian II Rp 5.000,00 per unit.
Tentukan berapa banyak masing-masing pakaian harus dibuat agar didapat keuntungan yang sebesar-besarnya ?

Tabel

Model I Model II Tersedia
Katun
Sutera
Wool 2
1
1 1
2
3 16
11
15
KEUNTUNGAN 3000 5000


Misalkan : Banyaknya model I yang dibuat = x
model II yang dibuat = y


Maksimumkan f (x,y) = 3000x + 5000y

ds : 2x + y £ 16 (1)
x + 2y £ 11 (2)
x + 3y £ 15 (3)
x;y ³ 0

Titik Ekstrim

A(8,0) ® TP antara garis (1) dengan sb-x
B(7,2) ® TP antara garis (1) dengan (2)
C(3,4) ® TP antara garis (2) dengan (3)
D(0,5) ® TP antara garis (3) dengan sb-y

f (x,y) = 3000x + 5000y

f(A) = f(8,0) = 3000(8) + 5000(0) = 24.000
f (B) = f(7,2) = 3000(7) + 5000(2) = 31.000
f(C) = f(3,4) = 3000(3) + 5000(4) = 29.000
f(D) = f(0,5) = 3000(0) + 5000(5) = 25.000

Jadi keuntungan maksimum adalah Rp 31.000; yaitu dengan membuat 7 buah model pakaian I dan 2 buah model pakaian II.

MASALAH MINIMUM

3)Dalam satu minggu tiap orang membutuhkan paling sedikit 16 unit protein , 24 unit karbohidrat dan 18 unit lemak Makanan A mengandung protein, karbohidrat dan lemak berturut-turut 4, 12 dan 2 unit setiap kg. Makanan B mengandung protein, karbohidrat dan lemak berturut turut 2 , 2 dan 6 unit setiap kg. Berapa kg masing- masing makanan harus dibeli setiap minggunya, agar kebutuhan terpenuhi, tetapi dengan biaya semurah-murahnya, bila 1 kg makanan A harganya Rp 1.700,00 dan 1 kg makanan B harganya Rp 800,00 ?

Tabel

A B Kebutuhan
Protein
Karbohidrat
Lemak 4
12
2 2
2
6 16
24
15
HARGA 1700 800


Misalkan : Banyaknya makanan A yang dibeli adalah x kg
Banyaknya makanan B yang dibeli adalah y kg

Minimumkan f (xy) = 1700x + 800y
ds : 4x + 2y ³ 16 ® 2x + y ³ 8 (1)
12x + 2y ³ 24 ® 6x + y ³ 12 (2
2x + 6y ³ 18 ® x + 3y ³ 9 (3)
(Catatan : Bentuk persyaratan ³ )

Titik Ekstrim

A (0,12) adalah titik potong antara garis (2) dan sumbu y.
B (1, 6) adalah titik potong antara garis (1) dan garis (2).
C (3, 2) adalah titik potong antara garis (1) dan garis (3).
D (9, 0) adalah titik potong antara garis (3) dan sumbu y.

f (x,y) = 1700x + 800y

f(A) = f(0,12) = 1700(0) + 800(12) = 9600
f(B) = f(1, 6) = 1700 (1) + 800( 6 ) = 6500
f(C) = f(3, 2) = 1700(3) + 800( 2 ) = 6700
f(D) = f(9, 0) = 1700(9) + 800( 0 ) = 15300

Jadi biaya minimum adalah Rp 6.500; yaitu dengan membeli 1 kg makanan A dan 6 kg makanan B.

Fungsi Linier Pada Poligonal

Kita bermaksud mencari nilai (khususnya maksimum/minimum) suatu fungsi Linier f (x, y) = px + qy
dimana (x,y)', memenuhi syarat-syarat sebagai berikut

ax + by £ c
dx + ey £ f
px + qy £ r

Hal di atas sama saja dengan mencari nilai maksimum/minimum suatu fungsi linier suatu poligonal.

DALIL

Jika f adalah suatu fungsi linier yang didefinisikan di atas suatu poligonal terbatas, maka nilai maksimum / minimumnya dicapai pada titik ekstrimnya (atau di sekitar titik ekstrimnya).

Contoh :

Carilah nilai maksimum dan minimum dari f(x,y) = 2x + Sy
dengan syarat : x + 2y £ 4
x- y£ 4
x ³ 1
y ³ -1

Langkah :
® Buatlah poligonalnya dan tentukan titik ekstrimnya.
Sesuai dengan contoh sebelumnya titik ekstrimnya adalah
A(1,-1) ; B(3,-1) ; C(4,0) ; D(1, 3/2 )
®Hitung nilai f(x,y) = 2x + 5y pada masing-masing titik ekstrimnya

f(A) = f(1,-1) = 2(1) + 5(-1) = -3
f(B) = f(3,-1) = 2(3) + 5(-1) = 1
f(C) = f (4, 0) = 2(4) + 5(0) = 8
f(D) = f (1, ; ) = 2(1) + 5( 3/2 ) = 9 1/2

Maka f(x,y) = 2x + Sy dengan batasan di atas mempunyai
- Nilai maksimum = 9 1/2 yang dicapai pada titik D (1, 3/2).
- Nilai minimum = -3 yang dicapai pada titik A (1,-1).

Dasar Matematis

PROGRAM LINIER adalah suatu teknik optimalisasi dimana variabel-variabelnya linier. Metode ini dipakai pada saat kita dihadapkan pada beberapa pilihan dengan batasan-batasan tertentu, sedangkan di lain pihak kita menghendaki keputusan yang optimum (maksimum/minimum).

DASAR MATEMATIS

Persamaan linier ax + by = c (x,y variabel ; a,b,c konstanta) membagi bidang atas 3 bagian :
1. Titik-titik yang memenuhi persamaan ax + by = c
2. Titik-titik yang memenuhi pertidaksamaan ax + by <>
3. Titik-titik yang memenuhi pertidaksamaan ax + by > c

Ket :
® grafik ax + by = c merupakan garis lurus yang berfungsi sebagai garis batas
® Titik-titik yang memenuhi ax + by > c atau ax + by <>

contoh :

1. Gambarkan tempat kedudukan (daerah) 2x-3y £ -6
Langkah :
-gambarkan terlebih dahulu garis 2x- 3y = -6
-titik potong dengan sumbu x ® y = 0 dan x = -3 (-3,0)
-titik potong dengan sumbu y ® x =0 dan y = 2 (0,2)
Hubungkan kedua titik potong tersebut

® pilih sembarang titik yang tidak terletak pada garis, misalkan titik (0,0)
Kemudian uji apakah titik tersebut memenuhi syarat
2x - 3y = 2(0) - 3(0) = 0 < -6 (salah)
Ternyata tidak memenuhi syarat . Berarti titik -titik yang memenuhi syarat (yang dimaksud) adalah di pihak lain dari titik (0,0) berada (seperti terlihat pada gambar berikut)

Ket : daerah yang diarsir merupakan daerah penyelesaian atau menggunakan tanda anak panah (persetujuan) bila pertidaksamaan berbentuk 2x - 3y < -6 (tanpa =), maka garis 2x - 3y = -6 dibuat putus-putus, untuk menunjukkan bahwa titik titik pada garis bukan merupakan daerah penyelesaian.

2. Gambarkan daerah yang memenuhi :
x + 3y £ 12
3x + y £ 12
x ³ 0 ; y ³ 0

Langkah :
® gambarkan garis x + 3y = 12 dan tentukan daerah x + 3y £ 12...(1)
gambarkan garis 3x + y = 12 dan tentukan daerah 3x + y £12...(2)
syarat x ³ 0 ; y ³ 0 menunjukkan bahwa daerah yang dimaksud terletak di kuadran I (x dan y positif)

® penyelesaiannya adalah daerah yang memenuhi keempat syarat di atas (merupakan irisan dari penyelesaian persyaratan diatas).

daerah yang memenuhi adalah daerah yang diarsir

Jarak Dua Buah Titik, Koordinat Titik Tengah, dan Jarak Titik Ke Garis

Jarak Dua Buah Titik Jarak antara titik A(x1,y1) dan titik B(x2,y2)
AB = Ö((x1-x2)²+(y1-y2)²)
Koordinat Titik Tengah Koordinat titik tengah antara titik A(x1,y2) dan titik B(x2,y2)
XT = (x1+x2)/2 YT = (y1+y2)/2
Jarak Titik Ke Garis Jarak titik A(x1,y1) ke garis g : ax + by + c = 0
d = |(ax1+by1+c)/Ö(a²+b²)|

Ket :

Untuk menentukan jarak antara dua buah garis sejajar, pertama tentukan sembarang titik yang terletak pada salah satu garis, kemudian nyatakan jarak titik ini ke garis yang lain.

Atau gunakan rumus jadi :

Jarak dua garis sejajar ax + by + c1 = 0 dan ax + by +c2 = 0 adalah

d = |(c1-c2)/Ö(a²+b²)|

Penggunaan :

Luas segitiga = ½ (alas X tinggi)
(alas = jarak 2 titik; tinggi = jarak titik ke garis

Luas bujur sangkar = sisi X sisi
(sisi = jarak 2 titik atau jarak titik ke garis

Luas Trapesium = ½ (jumlah sisi sejajar X tinggi)
(sisi sejajar = jarak 2 titik; tinggi = jarak titik ke garis)

Bentuk-Bentuk Persamaan Garis

1.Bentuk umum ax + by + c = 0 atau y = mx + n
2. Persamaan sumbu x ® y = 0
3. Persamaan sumbu y ® x = 0
4. Sejajar sumbu x ® y = k
5. Sejajar sumbu y ® x = k
6. Melalui titik asal dengan gradien m y = mx
7. Melalui titik (x1,y1) dengan gradien m y -y1 = m (x - x1)
8. Melalui potongan dengan sumbu di titik (a,0) dan (0,b) bx + ay = ab
9. Melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2) (y-y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1) y-y1 = ((y2-y1)/(x2-x1))(x-x1)

ket :

Persamaan (9) didapat dari persamaan (7) dengan mengganti
m=(y2-y1)/(x2-x1)
Garis ini mempunyai gradien m = (y2-y1)/(x2-x1)

Kedudukan Dua Buah Garis

Kedudukan 2 buah garis ditentukan oleh kemungkinan sudut yang dibentuk oleh dua garis tersebut.

g1 : y = m1x + n1 ® m1 = tan a g2 : y = mx2 + n2 ® m2 = tan b q : sudut yang dibentuk kedua garis q = (a - b) dengan menggunakan rumus tangens, didapat : tan q = |(m1-m2)/(1+m1m2)|

Ket :

Sudut yang dibentuk antara dua buah garis yang berpotongan, selalu dimaksudkan sebagai sudut lancip antara kedua garis tersebut. Karena tangens q harus bernilai positif (sudut lancip) maka rumusnya menggunakan tanda mutlak.

Dari rumus di atas dapat ditentukan bahwa kedua garis akan :

Kedudukan Garis	Bentuk Eksplisit y = m1x + n1 y = m2x + n2	Bentuk Implisit ax + by + c = 0 px + qy + r = 0
Berpotongan	m1 ¹ m2	a/p ¹ b/q
Sejajar	m1 = m2 dan n1 ¹ n2	a/p = b/q ¹ c/r
Tegak lurus	m1.m2 = -1	(ap/bq) = -1
Berimpit	m1= m2 dan n1=n2	a/p = b/q = c/r

gradien

Tempat kedudukan titik-titik (x,y) sehingga terdapat hubungan linier
ax + by + c = 0 merupakan suatu garis lurus

Bentuk ax + by +c = 0 (implisit) dapat ditulis dalam bentuk

y = mx + n (eksplisit)

dengan m = -a/b dan n = -c/b ; (b ¹ 0)

Ket : nilai m dan n ini mempunyai arti penting dalam menentukan grafik garis lurus.

m disebut koefisien arah (gradien) garis

m = tan a , dimana a adalah sudut yang dibentuk garis dengan sumbu x positif (berlawanan arah dengan jarum jam)

0° < a < 90° ® tan a = +

90° < a < 180° ® tan a = -

n = panjangan potongan terhadap sumbu y dihitung dari pusat sumbu koordinat

HAL-HAL KHUSUS

FUNGSI ASAL FUNGSI INVERS f(x) = ax+b ; a ¹ 0 f-1(x) = (x-b)/a ; a ¹ 0 f(x) = (ax+b)/(cx+d) ; x ¹ -d/c f-1(x) = (-dx+b)/(cx-a) ; x ¹ a/c f(x) = ax² + bx + c ; a ¹ 0 f-1(x) = (-b+Ö(b²-4a(c-x))/2a ; a ¹ 0 f(x) = a log cx ; a > 0 ¹ 1 ; cx>0 f-1(x) = ax/c ; c ¹ 0 f(x) = acx ; a > 0 ¹ 1 f-1(x) = alog x1/c = 1/c alog x ; c¹0 Keterangan : fungsi invers ini ada, jika syarat-syaratnya terpenuhi Fungsi kuadrat secara umum tidak mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika daerah definisinya dibatasi. f(x) = x² untuk X > 0 ® f-1(x) = Öx untuk X > 0

CARA MENENTUKAN SUATU GRAFIK MEMPUNYAI INVERS/TIDAK

1. 
   

   Tarik sembarang garis sejajar sumbu x, bila memotong grafik hanya di satu titik, maka grafik tersebut mempunyai invers. Bila tidak demikian, maka grafik tersebut tidak mempunyai invers

2. Diketahui f: R ® R
   f(x) = 2x - 3
   
   Tentukan f^-1 (x) !
   
   Jawab:
   
   f one one onto
   sehingga f mempunyai invers
   misalkan y = image dari x
   y = f(x)
   y = 2x-3 (yang berarti x = f^-1(y))
   x = (y+3)/2
   f^-1(x) = (x+3)/2

3. Diketahui f: A ® B
   f(x) = (x - 2)/(x - 3)
   dengan A = {R - {3}} dan B = {R - {-1}}
   (baca: A adalah himpunan bilangan riil kecuali 33)
   
   Tentukan f^-1(x)
   
   Jawab:
   
   y = (x - 2)/(x - 3)
   y(x - 3) = x - 2
   yx - 3y = x - 2
   x(y - 1) = 3y - 2
   x = (3y - 2)/(y - 1) ® f^-1(x) = (3x - 2)/(x - 1)

fungsi invers

f : A ® B

Bila b Î B, maka invers dari elemen b (dinyatakan dengan f^-1 (b)) adalah elemen A yang mempunyai pasangan b, atau

f^-1 (b) = {x ½ x Î A, f(x) = b}

Jika f adalah fungsi dari A ® B, maka f mempunyai fungsi invers f^-1 :A ® B jika dan hanya jika f adalah one one onto / bijektif / korespondensi 1-1

ket : f : y = f(x) cara mencari fungsi invers f-1 : x = f(y) ® nyatakan x dalam y

TEOREMA
f : A ® B dan f^-1 : B ® A

f^-1 o f : A ® A : fungsi indentitas di A
f f^-1
A ® B ® A
(f^-1 o f)

f o f^-1 : B ® B : fungsi identitas di B
f^{-1 f}
B ® A ® B
(f o f^-1)

komposisi fungsi

Anggap f : A ® B dan g : B ® C

Didapat fungsi baru (g o f) : A ® C
yang disebut komposisi fungsi dari f dan g

h = g o f
(g o f) (x) = g (f (x))

® yaitu dengan mengerjakan f(x) terlebih dahulu
ket : image f merupakan domain bagi g.

contoh:

1. f:A ® B; g:B ® C
(g o f)(a) = g (f(a)) = g(y) = t
(g o f)(b) = g (f(b)) = g(z) = r
(g o f)(c) = g (f(c)) = g(y) = t

2. f: R ® R ; f(x) = x²
g: R ® R ; g(x) = x + 3 R=riil

maka
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(x+3) = (x+3)² = x² + 6x + 9
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(x²) = x² + 3

Bila x=2, maka
(f o g)(2) = f(g(2)) = f(5) = 25
(g o f)(2) = g(f(2)) = g(4) = 7

3. Diketahui [rumus]
jika (f o g)(x) = x²
Tentukan g(x) !
jawab:
[rumus]

SIFAT

Bila f : A ® B; g : B ® C ; h : C ® D

maka

(f o g) ¹ (g o f) : tidak komutatif
(h o g) o f = h o (g o f) : asosiatif

CARA MENENTUKAN SUATU GRAFIK ADALAH FUNGSI ATAU BUKAN

1. 
   
   Tarik sembarang garis lurus sejajar sumbu y. Bila hanya memotong di satu titik pada grafik, maka grafik tersebut merupakan fungsi. Bila tidak demikian maka grafik tersebut bukan merupakan fungsi.
   
   

2. Bila V = {-2,-1,0,1,2}
   g : V ® R; R = riil
   g(x) = x² + 1
   Tentukan range !!!
   
   Jawab:
   
   Domain = {-2, -1, 0, 1, 2}
   Image dari g adalah :
   g(-2) = 5
   g(-1) = 2
   g(0) = 1
   g(1) = 2
   g(2) = 5
   
   maka range = {1, 2, 5}
   

3. Tentukan domain dan range dari y = Ö(x - 1)
   syarat : (x - 1) ³ 0
   
   Jawab :
   
   D = { x ½ x ³ 1}
   R = { y ½ y ³ 0}
   

4. Tentukan range dari f(x) = x² pada domain [1, -4]
   
   Jawab:
   
   Domain : f(x) = x²
   -1 £ x £ 4
   0 £ x £ 16
   0 £ y £ 16
   Range : [0, 16]

A. SEBUAH RELASI R TERDIRI DARI:

1. Himpunan A
   
2. Himpunan B
   
3. Sebuah kalimat terbuka P(x,y) yang menyatakan hubungan antara himpunan A dengan himpunan B.
   Dimana x bersesuaian dengan a Î A dengan y bersesuaian dengan b Î B.
   ® Bila P(a,b) betul maka a berelasi dengan b. Ditulis a R b
   ® Bila tidak demikian maka a R b
   

B. SEBUAH RELASI DAPAT DINYATAKAN DENGAN:

Himpunan Pasangan Berurutan (a,b)

Kalimat terbuka P(x,y)

Diagram cartesius ( diagram A x B )

Diagram panah

® bila R adalah sebuah relasi, maka himpunan dari relasi ini adalah:

R = {(a,b) ½ a Î A; b Î B; P(a,b) adalah betul}

Ket: Jika A=B, maka P(x,y) mendefinisikan sebuah relasi di dalam A.

contoh :

R = (A,B, P(x,y))
A = {2,3,4}
B = {3,4,5,6}
P(x,y) menyatakan x pembagi y

Himpunan penyelesaian relasi ini adalah

a. Himpunan pasangan berurutan

R = {(2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4)}
RELASI INVERS

Setiap Relasi dari A ke B, mempunyai relasi R-1 dari B ke A yang didefinisikan sebagai

R^-1 = {(b,a) ½ (a,b) Î R}

contoh:

A = {1,2,3}; B = {a,b}
R = {(1,a), (1,b), (3,a)} relasi dari A ke B
R^-1 = {(a,1), (b,1), (a,3)} relasi invers dari B ke A

DOMAIN DAN RANGE

Domain (daerah asal) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen pertama dari pasangan berurutan elemen R.

Domain = { a ½ a Î A, (a,b) Î R }

Range (daerah hasil) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen kedua dari pasangan berurutan elemen R.

Range = {b ½ b Î B, (a,b) Î R}

contoh:

A = {1,2,3,4} ; B = {a,b,c}
R = {(2,a) ; (4,a) ; (4,c)}
Domain = {2,4}
Range = {a,c}

Suatu pemetaan / fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi khusus sedemikian rupa sehingga, setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.

ditulis f : A ® B

1. Himpunan A disebut DOMAIN fungsi, dan himpunan B disebut CODOMAIN fungsi.
   
   
2. Bila a Î A, maka b Î B yang menyatakan pasangan dari A, disebut image (peta) dari A.
   
   ditulis f(a) = b
   
   
3. Kumpulan dari image-image a Î A di B, membentuk range fungsi.
   
   range = f(A)