Masalah Program linier adalah mengenai optimalisasi dengan keterbatasan tertentu. Keterbatasan dan optimalisasi ini harus dibentuk dahulu model matematikanya ;
yang secara garis besar dibagi 2 bagian :
- constraint ( Persyaratan )
- objective Function (Fungsi Tujuan / Sasaran)
Langkah
- Tentukan variabelnya (x=... ; y = ....)
- Buat model matematikanya dari : 1) Fungsi tujuan dan 2) Persyaratan
- Tentukan daerah yang memenuhi persyaratannya
- Tentukan titik esktrim daerah tersebut
- Substitusi koordinat titik ekstrim ke fungsi tujuan
- Bandingkan nilai yang didapat
- Jawaban disesuaikan dengan pertanyaan (maksimum/minimum)
contoh :
MASALAH MAKSIMUM
1. Seorang pedagang akan membuat kue A dan B. Kue A membutuhkan 150 gr tepung dan 50 gr mentega. Kue B membutuhkan 75 gr tepung dan 75 gr mentega. Tepung yang tersedia ada 2250 gr dan mentega yang tersedia ada 1750 gr. Jika kue A memberi keuntungan Rp 100,00 dan kue B Rp 125,00 tiap unitnya. Berapa keuntungan maksimum yang mungkin diperoleh pedagang itu ?
Tabel
Kue A Kue B Tersedia
Tepung
Mentega 150
50 75
75 2250
1750
KEUNTUNGAN 100 125
Misalkan banyaknya kue A yang dibuat x buah dan kue B yang dibuat y buah, maka persoalan menjadi :
Maksimumkan :
f(x,y) = 100x + 125y (fungsi objektif/keuntungan)
dengan syarat (ds):
150x + 75y £ 2250 ® 2x + y £ 30 ...(1)
50 x + 75y £ 1750 ® 2x + 3y £ 70 ...(2)
x,y ³ 0
catatan : bentuk persyaratan £
Titik Ekstrim
A(0,23 1/3) ; B(15,0) ; (5,20)
f(x,y) = 100x + 125y
f(A) = 100(0) + 125(23) = 2875
(dalam hal ini roti tidak pecahan)
f(B) = 100(15) + 125(0) = 1500
f(C) = 100(5) + 125(20) = 3000
Jadi keuntungan maksimum pedagang itu adalah Rp 3.000,00 ; yaitu dengan membuat 5 unit kue A dan 20 unit kue B.
2. Seorang penjahit pakaian mernpunyai persediaan barang katun 16 m, sutera 11 m dan wool 15 m.
Model pakaian I membutuhkan 2 m katun, 1 m sutera dan 1 m wool per unit. Model pakaian II membutuhkan 1 m
katun, 2 m sutera dan 3 m wool per unit.Keuntungan pakaian model I Rp 3.000,00 dan model pakaian II Rp 5.000,00 per unit.
Tentukan berapa banyak masing-masing pakaian harus dibuat agar didapat keuntungan yang sebesar-besarnya ?
Tabel
Model I Model II Tersedia
Katun
Sutera
Wool 2
1
1 1
2
3 16
11
15
KEUNTUNGAN 3000 5000
Misalkan : Banyaknya model I yang dibuat = x
model II yang dibuat = y
Maksimumkan f (x,y) = 3000x + 5000y
ds : 2x + y £ 16 (1)
x + 2y £ 11 (2)
x + 3y £ 15 (3)
x;y ³ 0
Titik Ekstrim
A(8,0) ® TP antara garis (1) dengan sb-x
B(7,2) ® TP antara garis (1) dengan (2)
C(3,4) ® TP antara garis (2) dengan (3)
D(0,5) ® TP antara garis (3) dengan sb-y
f (x,y) = 3000x + 5000y
f(A) = f(8,0) = 3000(8) + 5000(0) = 24.000
f (B) = f(7,2) = 3000(7) + 5000(2) = 31.000
f(C) = f(3,4) = 3000(3) + 5000(4) = 29.000
f(D) = f(0,5) = 3000(0) + 5000(5) = 25.000
Jadi keuntungan maksimum adalah Rp 31.000; yaitu dengan membuat 7 buah model pakaian I dan 2 buah model pakaian II.
MASALAH MINIMUM
3)Dalam satu minggu tiap orang membutuhkan paling sedikit 16 unit protein , 24 unit karbohidrat dan 18 unit lemak Makanan A mengandung protein, karbohidrat dan lemak berturut-turut 4, 12 dan 2 unit setiap kg. Makanan B mengandung protein, karbohidrat dan lemak berturut turut 2 , 2 dan 6 unit setiap kg. Berapa kg masing- masing makanan harus dibeli setiap minggunya, agar kebutuhan terpenuhi, tetapi dengan biaya semurah-murahnya, bila 1 kg makanan A harganya Rp 1.700,00 dan 1 kg makanan B harganya Rp 800,00 ?
Tabel
A B Kebutuhan
Protein
Karbohidrat
Lemak 4
12
2 2
2
6 16
24
15
HARGA 1700 800
Misalkan : Banyaknya makanan A yang dibeli adalah x kg
Banyaknya makanan B yang dibeli adalah y kg
Minimumkan f (xy) = 1700x + 800y
ds : 4x + 2y ³ 16 ® 2x + y ³ 8 (1)
12x + 2y ³ 24 ® 6x + y ³ 12 (2
2x + 6y ³ 18 ® x + 3y ³ 9 (3)
(Catatan : Bentuk persyaratan ³ )
Titik Ekstrim
A (0,12) adalah titik potong antara garis (2) dan sumbu y.
B (1, 6) adalah titik potong antara garis (1) dan garis (2).
C (3, 2) adalah titik potong antara garis (1) dan garis (3).
D (9, 0) adalah titik potong antara garis (3) dan sumbu y.
f (x,y) = 1700x + 800y
f(A) = f(0,12) = 1700(0) + 800(12) = 9600
f(B) = f(1, 6) = 1700 (1) + 800( 6 ) = 6500
f(C) = f(3, 2) = 1700(3) + 800( 2 ) = 6700
f(D) = f(9, 0) = 1700(9) + 800( 0 ) = 15300
Jadi biaya minimum adalah Rp 6.500; yaitu dengan membeli 1 kg makanan A dan 6 kg makanan B.
Kamis, 14 Januari 2010
Fungsi Linier Pada Poligonal
Kita bermaksud mencari nilai (khususnya maksimum/minimum) suatu fungsi Linier f (x, y) = px + qy
dimana (x,y)', memenuhi syarat-syarat sebagai berikut
ax + by £ c
dx + ey £ f
px + qy £ r
Hal di atas sama saja dengan mencari nilai maksimum/minimum suatu fungsi linier suatu poligonal.
DALIL
Jika f adalah suatu fungsi linier yang didefinisikan di atas suatu poligonal terbatas, maka nilai maksimum / minimumnya dicapai pada titik ekstrimnya (atau di sekitar titik ekstrimnya).
Contoh :
Carilah nilai maksimum dan minimum dari f(x,y) = 2x + Sy
dengan syarat : x + 2y £ 4
x- y£ 4
x ³ 1
y ³ -1
Langkah :
® Buatlah poligonalnya dan tentukan titik ekstrimnya.
Sesuai dengan contoh sebelumnya titik ekstrimnya adalah
A(1,-1) ; B(3,-1) ; C(4,0) ; D(1, 3/2 )
®Hitung nilai f(x,y) = 2x + 5y pada masing-masing titik ekstrimnya
f(A) = f(1,-1) = 2(1) + 5(-1) = -3
f(B) = f(3,-1) = 2(3) + 5(-1) = 1
f(C) = f (4, 0) = 2(4) + 5(0) = 8
f(D) = f (1, ; ) = 2(1) + 5( 3/2 ) = 9 1/2
Maka f(x,y) = 2x + Sy dengan batasan di atas mempunyai
- Nilai maksimum = 9 1/2 yang dicapai pada titik D (1, 3/2).
- Nilai minimum = -3 yang dicapai pada titik A (1,-1).
dimana (x,y)', memenuhi syarat-syarat sebagai berikut
ax + by £ c
dx + ey £ f
px + qy £ r
Hal di atas sama saja dengan mencari nilai maksimum/minimum suatu fungsi linier suatu poligonal.
DALIL
Jika f adalah suatu fungsi linier yang didefinisikan di atas suatu poligonal terbatas, maka nilai maksimum / minimumnya dicapai pada titik ekstrimnya (atau di sekitar titik ekstrimnya).
Contoh :
Carilah nilai maksimum dan minimum dari f(x,y) = 2x + Sy
dengan syarat : x + 2y £ 4
x- y£ 4
x ³ 1
y ³ -1
Langkah :
® Buatlah poligonalnya dan tentukan titik ekstrimnya.
Sesuai dengan contoh sebelumnya titik ekstrimnya adalah
A(1,-1) ; B(3,-1) ; C(4,0) ; D(1, 3/2 )
®Hitung nilai f(x,y) = 2x + 5y pada masing-masing titik ekstrimnya
f(A) = f(1,-1) = 2(1) + 5(-1) = -3
f(B) = f(3,-1) = 2(3) + 5(-1) = 1
f(C) = f (4, 0) = 2(4) + 5(0) = 8
f(D) = f (1, ; ) = 2(1) + 5( 3/2 ) = 9 1/2
Maka f(x,y) = 2x + Sy dengan batasan di atas mempunyai
- Nilai maksimum = 9 1/2 yang dicapai pada titik D (1, 3/2).
- Nilai minimum = -3 yang dicapai pada titik A (1,-1).
Dasar Matematis
PROGRAM LINIER adalah suatu teknik optimalisasi dimana variabel-variabelnya linier. Metode ini dipakai pada saat kita dihadapkan pada beberapa pilihan dengan batasan-batasan tertentu, sedangkan di lain pihak kita menghendaki keputusan yang optimum (maksimum/minimum).
DASAR MATEMATIS
Persamaan linier ax + by = c (x,y variabel ; a,b,c konstanta) membagi bidang atas 3 bagian :
1. Titik-titik yang memenuhi persamaan ax + by = c
2. Titik-titik yang memenuhi pertidaksamaan ax + by <>
3. Titik-titik yang memenuhi pertidaksamaan ax + by > c
Ket :
® grafik ax + by = c merupakan garis lurus yang berfungsi sebagai garis batas
® Titik-titik yang memenuhi ax + by > c atau ax + by <>
contoh :
1. Gambarkan tempat kedudukan (daerah) 2x-3y £ -6
Langkah :
-gambarkan terlebih dahulu garis 2x- 3y = -6
-titik potong dengan sumbu x ® y = 0 dan x = -3 (-3,0)
-titik potong dengan sumbu y ® x =0 dan y = 2 (0,2)
Hubungkan kedua titik potong tersebut
® pilih sembarang titik yang tidak terletak pada garis, misalkan titik (0,0)
Kemudian uji apakah titik tersebut memenuhi syarat
2x - 3y = 2(0) - 3(0) = 0 < -6 (salah)
Ternyata tidak memenuhi syarat . Berarti titik -titik yang memenuhi syarat (yang dimaksud) adalah di pihak lain dari titik (0,0) berada (seperti terlihat pada gambar berikut)
 | Ket :
|
2. Gambarkan daerah yang memenuhi :
x + 3y £ 12
3x + y £ 12
x ³ 0 ; y ³ 0
Langkah :
® gambarkan garis x + 3y = 12 dan tentukan daerah x + 3y £ 12...(1)
gambarkan garis 3x + y = 12 dan tentukan daerah 3x + y £12...(2)
syarat x ³ 0 ; y ³ 0 menunjukkan bahwa daerah yang dimaksud terletak di kuadran I (x dan y positif)
® penyelesaiannya adalah daerah yang memenuhi keempat syarat di atas (merupakan irisan dari penyelesaian persyaratan diatas).
| daerah yang memenuhi adalah daerah yang diarsir |  |
Jarak Dua Buah Titik, Koordinat Titik Tengah, dan Jarak Titik Ke Garis
| Jarak Dua Buah Titik Jarak antara titik A(x1,y1) dan titik B(x2,y2) |  |
| AB = Ö((x1-x2)²+(y1-y2)²) | |
| Koordinat Titik Tengah Koordinat titik tengah antara titik A(x1,y2) dan titik B(x2,y2) | |
| XT = (x1+x2)/2 YT = (y1+y2)/2 | |
| Jarak Titik Ke Garis Jarak titik A(x1,y1) ke garis g : ax + by + c = 0 | |
| d = |(ax1+by1+c)/Ö(a²+b²)| |
Ket :
Untuk menentukan jarak antara dua buah garis sejajar, pertama tentukan sembarang titik yang terletak pada salah satu garis, kemudian nyatakan jarak titik ini ke garis yang lain.
Atau gunakan rumus jadi :
Jarak dua garis sejajar ax + by + c1 = 0 dan ax + by +c2 = 0 adalah
d = |(c1-c2)/Ö(a²+b²)|
Penggunaan :
Luas segitiga = ½ (alas X tinggi)
(alas = jarak 2 titik; tinggi = jarak titik ke garis
Luas bujur sangkar = sisi X sisi
(sisi = jarak 2 titik atau jarak titik ke garis
Luas Trapesium = ½ (jumlah sisi sejajar X tinggi)
(sisi sejajar = jarak 2 titik; tinggi = jarak titik ke garis)
Bentuk-Bentuk Persamaan Garis
| 1.Bentuk umum ax + by + c = 0 atau y = mx + n |  |
| 2. Persamaan sumbu x ® y = 0 | |
| 3. Persamaan sumbu y ® x = 0 | |
| 4. Sejajar sumbu x ® y = k | |
| 5. Sejajar sumbu y ® x = k | |
| 6. Melalui titik asal dengan gradien m y = mx |  |
| 7. Melalui titik (x1,y1) dengan gradien m |  |
| 8. Melalui potongan dengan sumbu di titik (a,0) dan (0,b) bx + ay = ab |  |
| 9. Melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2) (y-y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1) y-y1 = ((y2-y1)/(x2-x1))(x-x1) |  |
ket :
Persamaan (9) didapat dari persamaan (7) dengan mengganti
m=(y2-y1)/(x2-x1)
Garis ini mempunyai gradien m = (y2-y1)/(x2-x1)
Kedudukan Dua Buah Garis
Kedudukan 2 buah garis ditentukan oleh kemungkinan sudut yang dibentuk oleh dua garis tersebut.
 | g1 : y = m1x + n1 ® m1 = tan a g2 : y = mx2 + n2 ® m2 = tan b q : sudut yang dibentuk kedua garis q = (a - b) dengan menggunakan rumus tangens, didapat : tan q = |(m1-m2)/(1+m1m2)| |
Ket :
Sudut yang dibentuk antara dua buah garis yang berpotongan, selalu dimaksudkan sebagai sudut lancip antara kedua garis tersebut. Karena tangens q harus bernilai positif (sudut lancip) maka rumusnya menggunakan tanda mutlak.
Dari rumus di atas dapat ditentukan bahwa kedua garis akan :
| Kedudukan Garis | Bentuk Eksplisit y = m1x + n1 y = m2x + n2 | Bentuk Implisit ax + by + c = 0 px + qy + r = 0 |
| Berpotongan | m1 ¹ m2 | a/p ¹ b/q |
| Sejajar | m1 = m2 dan n1 ¹ n2 | a/p = b/q ¹ c/r |
| Tegak lurus | m1.m2 = -1 | (ap/bq) = -1 |
| Berimpit | m1= m2 dan n1=n2 | a/p = b/q = c/r |
gradien
Tempat kedudukan titik-titik (x,y) sehingga terdapat hubungan linier
ax + by + c = 0 merupakan suatu garis lurus
Bentuk ax + by +c = 0 (implisit) dapat ditulis dalam bentuk
y = mx + n (eksplisit)
dengan m = -a/b dan n = -c/b ; (b ¹ 0)
Ket : nilai m dan n ini mempunyai arti penting dalam menentukan grafik garis lurus.
m disebut koefisien arah (gradien) garis
m = tan a , dimana a adalah sudut yang dibentuk garis dengan sumbu x positif (berlawanan arah dengan jarum jam)
| 0° < a < 90° ® tan a = + |
| 90° < a < 180° ® tan a = - |
n = panjangan potongan terhadap sumbu y dihitung dari pusat sumbu koordinat
Langganan:
Postingan (Atom)
