Kamis, 14 Januari 2010
CARA MENENTUKAN SUATU GRAFIK MEMPUNYAI INVERS/TIDAK
Tarik sembarang garis sejajar sumbu x, bila memotong grafik hanya di satu titik, maka grafik tersebut mempunyai invers. Bila tidak demikian, maka grafik tersebut tidak mempunyai invers
-
Diketahui f: R ® R
f(x) = 2x - 3
Tentukan f-1 (x) !
Jawab:
f one one onto
sehingga f mempunyai invers
misalkan y = image dari x
y = f(x)
y = 2x-3 (yang berarti x = f-1(y))
x = (y+3)/2
f-1(x) = (x+3)/2 -
Diketahui f: A ® B
f(x) = (x - 2)/(x - 3)
dengan A = {R - {3}} dan B = {R - {-1}}
(baca: A adalah himpunan bilangan riil kecuali 33)
Tentukan f-1(x)
Jawab:
y = (x - 2)/(x - 3)
y(x - 3) = x - 2
yx - 3y = x - 2
x(y - 1) = 3y - 2
x = (3y - 2)/(y - 1) ® f-1(x) = (3x - 2)/(x - 1)
fungsi invers
f : A ® B
Bila b Î B, maka invers dari elemen b (dinyatakan dengan f-1 (b)) adalah elemen A yang mempunyai pasangan b, atau
f-1 (b) = {x ½ x Î A, f(x) = b}
Jika f adalah fungsi dari A ® B, maka f mempunyai fungsi invers f-1 :A ® B jika dan hanya jika f adalah one one onto / bijektif / korespondensi 1-1
 | ket : f : y = f(x) cara mencari fungsi invers f-1 : x = f(y) ® nyatakan x dalam y |
TEOREMA
f : A ® B dan f-1 : B ® A
f-1 o f : A ® A : fungsi indentitas di A
f f-1
A ® B ® A
(f-1 o f)
f o f-1 : B ® B : fungsi identitas di B
f-1 f
B ® A ® B
(f o f-1)
komposisi fungsi
Anggap f : A ® B dan g : B ® C
Didapat fungsi baru (g o f) : A ® C
yang disebut komposisi fungsi dari f dan g
h = g o f
(g o f) (x) = g (f (x))
® yaitu dengan mengerjakan f(x) terlebih dahulu
ket : image f merupakan domain bagi g.
contoh:
1. f:A ® B; g:B ® C
(g o f)(a) = g (f(a)) = g(y) = t
(g o f)(b) = g (f(b)) = g(z) = r
(g o f)(c) = g (f(c)) = g(y) = t
2. f: R ® R ; f(x) = x²
g: R ® R ; g(x) = x + 3 R=riil
maka
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(x+3) = (x+3)² = x² + 6x + 9
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(x²) = x² + 3
Bila x=2, maka
(f o g)(2) = f(g(2)) = f(5) = 25
(g o f)(2) = g(f(2)) = g(4) = 7
3. Diketahui [rumus]
jika (f o g)(x) = x²
Tentukan g(x) !
jawab:
[rumus]
SIFAT
Bila f : A ® B; g : B ® C ; h : C ® D
maka
(f o g) ¹ (g o f) : tidak komutatif
(h o g) o f = h o (g o f) : asosiatif
CARA MENENTUKAN SUATU GRAFIK ADALAH FUNGSI ATAU BUKAN
Tarik sembarang garis lurus sejajar sumbu y. Bila hanya memotong di satu titik pada grafik, maka grafik tersebut merupakan fungsi. Bila tidak demikian maka grafik tersebut bukan merupakan fungsi.
-
Bila V = {-2,-1,0,1,2}
g : V ® R; R = riil
g(x) = x² + 1
Tentukan range !!!
Jawab:
Domain = {-2, -1, 0, 1, 2}
Image dari g adalah :
g(-2) = 5
g(-1) = 2
g(0) = 1
g(1) = 2
g(2) = 5
maka range = {1, 2, 5}
-
Tentukan domain dan range dari y = Ö(x - 1)
syarat : (x - 1) ³ 0
Jawab :
D = { x ½ x ³ 1}
R = { y ½ y ³ 0}
- Tentukan range dari f(x) = x² pada domain [1, -4]
Jawab:
Domain : f(x) = x²
-1 £ x £ 4
0 £ x £ 16
0 £ y £ 16
Range : [0, 16]
A. SEBUAH RELASI R TERDIRI DARI:
- Himpunan A
- Himpunan B
- Sebuah kalimat terbuka P(x,y) yang menyatakan hubungan antara himpunan A dengan himpunan B.
Dimana x bersesuaian dengan a Î A dengan y bersesuaian dengan b Î B.
® Bila P(a,b) betul maka a berelasi dengan b. Ditulis a R b
® Bila tidak demikian maka a R b
® bila R adalah sebuah relasi, maka himpunan dari relasi ini adalah:
R = {(a,b) ½ a Î A; b Î B; P(a,b) adalah betul}
Ket: Jika A=B, maka P(x,y) mendefinisikan sebuah relasi di dalam A.
contoh :
R = (A,B, P(x,y))
A = {2,3,4}
B = {3,4,5,6}
P(x,y) menyatakan x pembagi y
a. Himpunan pasangan berurutan
R = {(2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4)}
RELASI INVERS
Setiap Relasi dari A ke B, mempunyai relasi R-1 dari B ke A yang didefinisikan sebagai
R-1 = {(b,a) ½ (a,b) Î R}
contoh:
A = {1,2,3}; B = {a,b}
R = {(1,a), (1,b), (3,a)} relasi dari A ke B
R-1 = {(a,1), (b,1), (a,3)} relasi invers dari B ke A
DOMAIN DAN RANGE
Domain (daerah asal) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen pertama dari pasangan berurutan elemen R.
Domain = { a ½ a Î A, (a,b) Î R }
Range (daerah hasil) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen kedua dari pasangan berurutan elemen R.
Range = {b ½ b Î B, (a,b) Î R}
contoh:
A = {1,2,3,4} ; B = {a,b,c}
R = {(2,a) ; (4,a) ; (4,c)}
Domain = {2,4}
Range = {a,c}
Suatu pemetaan / fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi khusus sedemikian rupa sehingga, setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.
ditulis f : A ® B
- Himpunan A disebut DOMAIN fungsi, dan himpunan B disebut CODOMAIN fungsi.
- Bila a Î A, maka b Î B yang menyatakan pasangan dari A, disebut image (peta) dari A.
ditulis f(a) = b
- Kumpulan dari image-image a Î A di B, membentuk range fungsi.
range = f(A)
